Meraklısına Lipschitz Sürekliliği

6 min readApr 8, 2023

Herkese Merhabalar :)

Bugün belki doğrudan yazılımla bağdaştıramayacağınız ama hem yazılım hem de mühendislik alanı için önemli bir konu olan Lipschitz Sürekliliği ile ilgili bir yazı yazmaya karar verdim. Bu dönem itibariyle Yıldız Teknik Üniversitesi Matematik Mühendisliği’ne Yüksek Lisans eğitimine başladım. Değerli hocam Doç. Dr. Yasemen Uçan’dan aldığım Uygulamalı Fonksiyonel Analiz dersinde görmüş olduğum bu konunun önemi, kullanım alanlarını ve özelliklerini açıklayarak bir örnek ile de taçlandıracağıp sizlere aktarmaya çalışacağım.

Konuyla ilgili aktarımları, destekleri ve örnek çözümleri için Doç. Dr. Yasemen Uçan’a teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

Lipschitz Sürekliliği’ni Tanıyalım!

Birçok matematiksel ve sayısal analiz sorununda faydalı bir özelliktir.
Lipschitz sürekliliği, özellikle optimizasyon ve diferansiyel denklemler gibi alanlarda yaygın olarak kullanılır. Örneğin, bir optimizasyon problemi çözüldüğünde, sonuçların Lipschitz sürekliliği, çözümün ne kadar hassas olduğunu belirleyebilir. Benzer şekilde, bir diferansiyel denklem çözüldüğünde, Lipschitz sürekliliği, yaklaşımın ne kadar doğru olduğunu ve hata payının ne kadar az olduğunu belirleyebilir.

Lipschitz Sürekliliği Kullanım Alanları

Optimizasyon: Lipschitz sürekliliği, eniyileme algoritmalarında kullanılabilir. Özellikle, gradient bazlı yöntemlerde Lipschitz sürekliliği, algoritmanın çıktısının hızlı bir şekilde yakınsamasına yardımcı olabilir.
Sayısal analiz: Sayısal analizde, Lipschitz sürekliliği birçok sayısal çözüm yönteminde kullanılır. Örneğin, Lipschitz sürekliliği, sayısal türevleme ve integral hesaplamada kullanılabilir.
Diferansiyel denklemler: Lipschitz sürekliliği, birçok diferansiyel denklemin çözümünde önemli bir rol oynar. Özellikle, Picard-Lindelöf teoremi, Lipschitz sürekliliği varsayımına dayanır.
Veri analizi: Lipschitz sürekliliği, veri analizinde de kullanılabilir. Özellikle, Lipschitz sürekliliği, veri madenciliğinde veri sıkıştırma ve boyut azaltma gibi problemlerde kullanılabilir.
Makine öğrenmesi: Lipschitz sürekliliği, makine öğrenmesi algoritmalarında da kullanılabilir. Özellikle, gradient bazlı yöntemlerde Lipschitz sürekliliği, model eğitiminde verimliliği artırabilir.
Kontrol teorisi: Lipschitz sürekliliği, kontrol teorisinde de kullanılır. Özellikle, geri beslemeli kontrol sistemleri ve robotik sistemlerde Lipschitz sürekliliği kullanılabilir.

Özetle;

Adi difarensiyel denklemlerin nümerik çözümlerini görürken sayısal çözüme başlamadan önce o çözümün varlığını ve denkliğini gösterdiğimiz bir alan bulunmaktaydı. Oradaki diferansiyel denklemin çözümünün var olabilmesi için bu süreklilik şartının sağlanması gereklidir.
O nedenle diferansiyel denklemler uygulamalı fonksiyonel analizden birçok kanıt alındıktan sonra uygulamaları yapılan bir derstir. Buradan da anlayabileceğimiz durum matematiğin her dalının birbiriyle iç içe olduğu görülmektedir.

Lipschitz Sürekliliği’ni detaylı bir şekilde inceleyelim.

Sürekli ve Düzgün Sürekli

Süreklilikten bahsederken fonksiyonlarda sürekli diyorsak sürekli anlamına gelir ama aslında oradaki δ hem x hem ε’a bağlı çıkabilir.
Hem x hem ε’ a bağlıysa sadece sürekli olarak tanımlanır. x’e bağlı değil sadece ε bağlıysa bu duruma ise fonksiyonlarda düzgün süreklilik denir.

Düzgün süreklilik ile normal süreklilik arası farkı bilmek önemlidir.

Metrik Uzay örneklemesi ile Lipschitz Sürekliliği

İki metrik uzay arasındaki bir fonksiyon verilmeli , eğer “ρ(ro)” yani y üzerindeki metriğe göre f(x),f(y) lerin metriği küçük eşit x,y’lerin metriği çarpı c koşulunu sağlayan bir pozitif c varsa bu fonksiyona Lipschitz sürekliliği denir. Ve bu sürekllik c ve ε’a bağlı bir sayı olacağı için ve x’ten bağımsız olduğunu söylersek Lipschitz Sürekliliği’nin düzgün sürekliliği de gerektirdiği de söylenmiş olur. c’ye de Lipschitz Sabiti adı verilir.
Her taraf c’ye bölündüğünde δ da ε/ c olur ve δ bu şekilde seçildiğinde düzgün sürekliliği söyler. Burdan şunu çıkarabiliriz; düzgün sürekli bir fonksiyon ayrıca Lipschitz süreklidir.

Şekil 2 : Metrik Uzay ve Lipschitz Sürekliliği Bağlantısı

Örnek üzerinden konuyu detaylıca anlayalım!

Örnek

Çözüm

Çözüm Detayları

L2 uzayı karesi integrallenebilir fonksiyonlar uzayıdır. Ve bunlar sonlu, sınırlı fonksiyonlardır. Bu uzaydan yine aynı uzaya bir k fonksiyonu tanımlanır.
k fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlıdır.
Buradaki x , büyük x değildir. Küçük x olarak tanımlanmıştır.

Amaç aşağıdaki denklemin sağlanabilmesidir. Burada X yerine [a,b]’nin elemanı, Y yerine de [a,b]’nin elemanları gelecektir. ( L2 uzayında olacak)
Bu fonksiyonun Lipschitz sürekli olduğunu göstermek için uzayda tanımlanan metriği kullanmak gerekmektedir.

Tanım 1'den yola çıkarak aşağıdaki eşitlik yazılabilir;

Tanımdan dolayı integral yukarıdaki gibi yazılır. Bu kısımda karesinin karekökü olan bir durum mevcut olduğu için Holder Eşitsizliği görülür.
O nedenle karesinin karekökü olarak gösterilen en soldaki IkfI ve en sağdaki ifade hesaplandığında bundan küçükse gene karekök de ondan küçük eşit kalacaktır. Ve bu şekilde verilen uzayda tanımlanan metrikle Lipschitz sürekliliği gösterilebilecektir.

Şekil 8 : Sorunun Denklemi ve 1. Adım İlişkisi

|kf| denilen ifade x uzayına düşmesi gerekir ve bu uzaya düşmesi demek sınırlı olduğu anlamına gelir.
IkfI denilen sorudaki tanımda verilen denklemdir(Şekil 8'de tanım verilmiştir.) . Bu ifade a’dan b’ye mutlak değer içerisinde f(x).dx şeklinde yazılabilir. Bunun da ilgili uzaya düştüğünü göserebilmek için karesinin integrallenebilir durumda olması gerekir yani 1/2'den küçük eşit olması gerekir. Tabi bu kurala göre bu durum; P’nin 2 olma durumudur.
Birinci integral ile ikinci integral ayndır ancak burada ikinci integralde yapılmak istenen f(x)’in mutlak değerinin 1/2. kuvvetini alınca birinci integralden daha büyük, ya da eşit olan bir hedefe geçmesini sağlayabilmektir.
Çünkü sınırlılığını Lipschitz ile göstermek esas alınmıştır. O nedenle buradaki pozitif bir sayı daha büyük veya eşit kavramı yazmak istendiği için (b-a) üzeri ½ yi koyulmaktadır. Buradaki ikinci integralin oluşumu birinci integralin çözümü ile gerçekleşmemektedir. Zaten bu denklem LP denilen metriklerden bilinmektedir.

Şekil 9 : (b-a) üzeri 1/2 nereden geldi?

(b-a) denilen pozitif bir sayıdır. Bu integral pozitif sayıyla çarpıldığında eşitliğin diğer tarafından büyük veya eşit olacaktır.
O halde bu şartlara göre bu eşitsizliği sağlayacak bir c yazılabilir.
(b-a) burada 1'den büyük olmalıdır. Çünkü metrik şartlarından dolayı mutlak değer alıp karekökü yazılır.
Karekökünü tamamlayabilmek için her zaman b sınırı a’dan büyük olmalıdır. L2 ediğimiz durum, bu uzay üzerinde alınan f fonksiyonlarının sınırlı olduğunu söyler ve karesi integrallenebilir fonksiyonların sınırlılığından bahseder.

Şekil 10 : Lebesque integralinin soruda kullanılması

LP’nin elamanı olabilmesi için karesi denilen integralin sonlu olması esastır. (P=2 durumu alındı.)
Bu alan da buradan gelir.L2 ‘de bulunan ve [a,b] dediğimiz yapı, karesi integrallenebilir fonksiyon anlamına gelir yani Lebesque( Şekil 10 ) anlamında integrallenebilme ve sonluluk koşulunu söyler. Ve Şekil 9’daki denklemde karesinin karekökü olarak yazılabilen denklem Lebesque’den oluşturulmuştur.

Holder eşitsizliğinde a dan b ye mutlak değer f(x).g(x) denilen kısım a’ dan b’ye f(x) mutlak değer üzeri p dx üzeri 1/p şeklinde ve g(x) için de aynı şekillde yazılabilir.
Bu soru L2 bazında p=2 durumu için işlemler yapıldı. Çünkü kullanılan L2 uzayıdır.L2 uzayının gerçekten elemanı olduğunu söyleyebilmek için oradan Lipschitz süreklliğine geçecek bir ifade bulunur ve bunun için aşağıdaki Hölder Eşitsizliği kullanılır.
3 numaralı tanımda eşit yazılıyorsa burada da küçük veya eşit yazılabilir. Çünkü pozitif bir sayısıdır.
Bunu yazdıktan sonra, bu sayede sınırlılıktan söz edilebilir.
Aşağıdaki eşitsizlikte iki taraf da sonlu değerlerden oluşmuştur.
kf’in L2‘de olduğu Şekil 12’deki gibi gösterilir.

Sonuç olarak ;

Sürekliliği ise kf-kg’nin metriğine bakılması gerekir.
Metrik ise X üzerinde yani L2[a,b] üzerinde tanımlanmalıdır.
kf ve kgler ‘nin elemanıdır. Burada gösterilen kf L2‘nin içerisindedir.
Onun üzerindeki metrikle yazıldığında (ii) değeri bulunur.
(iv) de yazılan d2 metriği ( f ve g arasında) , (iii) deki ise kf ve kg arasındaki metriktir.
Herhangi bir tane c (v) bulabilmek için Lipschitz sürekliliği için yeterlidir.
Bu durum da tanımlanan k fonksiyonu Lipschitz süreklidir ayrıca düzgün süreklidir.